label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאותלחצו על תגיות ה-"הוכחה." כדי להראות/להחביא הוכחות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
הגדרה 1.1. יהי \(\left(\MKbby,\sigma\right)\) מרחב טפולוגי, ותהיינה \(f_{0},f_{1}:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) שתי פונקציות רציפות. נאמר ש-\(f_{0}\) ו-\(f_{1}\)הומוטופיות זו לזו, אם קיימת העתקה רציפה \(H:\left[0,1\right]\times\MKbbx\rightarrow\MKbby\) כך שמתקיים \(H\left(0,x\right)=f_{0}\left(x\right)\) ו-\(H\left(1,x\right)=f_{1}\left(x\right)\) לכל \(x\in\MKbbx\); במקרה כזה נאמר ש-\(H\) היא הומוטופיה בין \(f_{0}\) ו-\(f_{1}\).
מסקנה 1.2. יחס ההומוטופיה הוא יחס שקילות.
סימון:
בהינתן שתי פונקציות הומוטופיות \(f_{0},f_{1}:\MKbbx\rightarrow\MKbby\), והומוטופיה \(H:\left[0,1\right]\times\MKbbx\rightarrow\MKbby\) ביניהן, לכל \(t\in\left[0,1\right]\) נסמן ב-\(H_{t}\) את הפונקציה המוגדרת ע"י \(H_{t}\left(x\right):=H\left(t,x\right)\) לכל \(x\in\MKbbx\).
הגדרה 1.3. יהיו \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a<b\), ותהיינה \(\gamma_{0},\gamma_{1}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKbbx\) שתי מסילות1מסילה היא פונקציה רציפה מקטע סגור ב-\(\MKreal\) למרחב טופולוגי.. נאמר ש-\(\gamma_{1}\) ו-\(\gamma_{2}\)הומוטופיות מסילתית, ונסמן \(\gamma_{1}\sim\gamma_{2}\), אם קיימת הומוטופיה \(H:\left[0,1\right]\times\left[a,b\right]\rightarrow\MKbbx\) בין \(\gamma_{1}\) ל-\(\gamma_{2}\) כך שמתקיים \(H_{t}\left(a\right)=\gamma_{1}\left(a\right)=\gamma_{2}\left(a\right)\) ו-\(H_{t}\left(b\right)=\gamma_{1}\left(b\right)=\gamma_{2}\left(b\right)\) לכל \(t\in\left[0,1\right]\).
סימון:
לכל \(x,y\in\MKbbx\) נסמן ב-\(\Omega\left(\MKbbx,x,y\right)\) את אוסף המסילות מהצורה \(\gamma:\left[0,1\right]\rightarrow\MKbbx\) כך ש-\(\gamma\left(0\right)=x\) ו-\(\gamma\left(1\right)=y\), כמו כן נסמן \(\Omega\left(\MKbbx,x\right):=\Omega\left(\MKbbx,x,x\right)\) לכל \(x\in\MKbbx\), ונקרא לאיברי \(\Omega\left(\MKbbx,x\right)\)לולאות מבוססות ב-\(x\).
מסקנה 1.4. יחס ההומוטופיה המסילתית הוא יחס שקילות.
הגדרה 1.5. תהיינה \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[0,1\right]\rightarrow\MKbbx\), נאמר ש-\(\gamma_{2}\) מתקבלת מ-\(\gamma_{1}\) ע"י רה-פרמטריזציה, אם קיימת מסילה \(\psi:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]\) כך ש-\(\gamma_{2}=\gamma_{1}\circ\psi\); במקרה כזה \(\psi\) כזו תיקרא רה-פרמטריזציה של \(\gamma_{1}\).
מסקנה 1.6. תהיינה \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[0,1\right]\rightarrow\MKbbx\), אם \(\gamma_{2}\) מתקבלת מ-\(\gamma_{1}\) ע"י רה-פרמטריזציה, אז \(\gamma_{1}\sim\gamma_{2}\).
1.2 הגדרת החבורה היסודית
סימון:
לכל \(x,y\in\MKbbx\) נסמן ב-\(\pi_{1}\left(\MKbbx,x,y\right)\) את אוסף מחלקות השקילות של יחס ההומוטופיה מסילתית, וכמו כן נסמן \(\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right):=\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right)\) לכל \(x\in\MKbbx\).
הגדרה 1.7. יהיו \(x,y,z\in\MKbbx\), ותהיינה \(\gamma_{1}\in\Omega\left(\MKbbx,x,y\right)\) ו-\(\gamma_{2}\in\Omega\left(\MKbbx,y,z\right)\) שתי מסילות. שרשור המסילות\(\gamma_{1}\ast\gamma_{2}\) הוא המסילה המוגדרת ע"י (לכל \(t\in\left[0,1\right]\)):\[
\left(\gamma_{1}\ast\gamma_{2}\right)\left(t\right):=\begin{cases}
\gamma_{1}\left(2t\right) & t\leq\frac{1}{2}\\
\gamma_{2}\left(2t-1\right) & t\geq\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
טענה 1.8. יהיו \(x,y,z\in\MKbbx\), תהיינה \(\gamma_{1},\tilde{\gamma_{2}}\in\Omega\left(\MKbbx,x,y\right)\), ותהיינה \(\gamma_{2},\tilde{\gamma_{2}}\in\Omega\left(\MKbbx,y,z\right)\). אם \(\gamma_{1}\sim\tilde{\gamma_{1}}\) וגם \(\gamma_{2}\sim\tilde{\gamma_{2}}\), אז גם \(\gamma_{1}\ast\gamma_{2}\sim\tilde{\gamma_{1}}\ast\tilde{\gamma_{2}}\).
סימון:
לכל \(x\in\MKbbx\), ולכל \(\gamma_{1},\gamma_{2}\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\), נסמן \(\left[\gamma_{1}\right]\cdot\left[\gamma_{2}\right]:=\left[\gamma_{1}\ast\gamma_{2}\right]\); בכך אנו מגדירים פעולה דו-מקומית "\(\cdot\)" על \(\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right)\).
טענה 1.9. לכל \(x\in\MKbbx\), ולכל \(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3}\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\) מתקיים \(\left(\left[\gamma_{1}\right]\cdot\left[\gamma_{2}\right]\right)\cdot\left[\gamma_{3}\right]=\left[\gamma_{1}\right]\cdot\left(\left[\gamma_{2}\right]\cdot\left[\gamma_{3}\right]\right)\).
סימון:
לכל \(x\in\MKbbx\) נסמן ב-\(c_{x}\) את המסילה הקבועה \(c_{x}:\left[0,1\right]\rightarrow\MKbbx\) המוגדרת ע"י \(c_{x}\left(t\right):=x\) לכל \(t\in\left[0,1\right]\); מהגדרה \(c_{x}\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\).
טענה 1.10. לכל \(x\in\MKbbx\), ולכל \(\gamma\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\) מתקיים \(\left[c_{x}\right]\cdot\left[\gamma\right]=\left[\gamma\right]=\left[\gamma\right]\cdot\left[c_{x}\right]\).
סימון:
לכל מסילה \(\gamma:\left[0,1\right]\rightarrow\MKbbx\) נסמן ב-\(\bar{\gamma}\) את המסילה \(\bar{\gamma}:\left[0,1\right]\rightarrow\MKbbx\) המוגדרת ע"י \(\bar{\gamma}\left(t\right):=\gamma\left(1-t\right)\) לכל \(t\in\left[0,1\right]\).
טענה 1.11. יהיו \(x\in\MKbbx\) ו-\(\gamma\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\). מתקיים \(\bar{\gamma}\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\), וכן \(\left[\bar{\gamma}\right]\cdot\left[\gamma\right]=\left[c_{x}\right]=\left[\gamma\right]\cdot\left[\bar{\gamma}\right]\).
מסקנה 1.12. השלשה הסדורה \(\left(\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right),\cdot,\left[c_{x}\right]\right)\) היא חבורה.
הגדרה 1.13. החבורה \(\left(\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right),\cdot,\left[c_{x}\right]\right)\) תיקרא החבורה היסודית של\(\MKbbx\)המבוססת ב-\(x\).
1.3 תלות החבורה היסודית בנקודת הבסיס
משפט 1.14. תהיינה \(x,y\in\MKbbx\), אם קיימת מסילה \(\alpha\in\Omega\left(\MKbbx,x,y\right)\), אז \(\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right)\cong\pi_{1}\left(\MKbbx,y\right)\).
הוכחה. האיזומורפיזם הוא הפונקציה \(f_{\alpha}:\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right)\rightarrow\pi_{1}\left(\MKbbx,y\right)\) המוגדרת ע"י \(f_{\alpha}\left(\left[\gamma\right]\right):=\left[\bar{\gamma}\right]\ast\left[\alpha\right]\ast\left[\gamma\right]\) לכל \(\gamma\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\); כאשר \(\alpha\in\Omega\left(\MKbbx,x,y\right)\).
טענה 1.15. יהי \(\left(\MKbby,\sigma\right)\) מרחב טופולוגי, יהיו \(x\in\MKbbx\) ו-\(y\in\MKbby\), ותהא \(f:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) פונקציה רציפה כך ש-\(f\left(x\right)=y\). הפונקציה \(\varphi:\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right)\rightarrow\pi_{1}\left(\MKbby,y\right)\) המוגדרת ע"י \(\varphi\left(\left[\gamma\right]\right):=\left[f\circ\gamma\right]\) (לכל \(\gamma\in\Omega\left(\MKbbx,x\right)\)) היא הומיאומורפיזם בין חבורות.
מסקנה 1.16. יהי \(\left(\MKbby,\sigma\right)\) מרחב טופולוגי הומיאומורפי ל-\(\left(\MKbbx,\tau\right)\). לכל הומיאומורפיזם \(f:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) בין \(\MKbbx\) ל-\(\MKbby\), ולכל \(x\in\MKbbx\), מתקיים \(\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right)\cong\pi_{2}\left(\MKbbx,f\left(x\right)\right)\).
2 מרחבים כוויצים ומרחבים פשוטי קשר
יהי \(\left(\MKbbx,\tau\right)\) מרחב טופולוגי.
הגדרה 2.1. נאמר ש-\(\left(\MKbbx,\tau\right)\) הוא מרחב כוויץ אם קיימים \(x_{0}\in\MKbbx\) ופונקציה רציפה \(H:\left[0,1\right]\times\MKbbx\rightarrow\MKbbx\), כך שמתקיים \(H\left(0,x\right)=x\) ו-\(H\left(1,x\right)=x_{0}\) לכל \(x\in\MKbbx\).
\(\clubsuit\)
מבחינה אינטואיטיבית מרחב כוויץ הוא כזה שניתן לכווץ אותו לנקודה אחת מבלי לקרוע אותו או להדביק חלקים שלו זה לזה.
מסקנה 2.2. התנאים הבאים שקולים:
\(\left(\MKbbx,\tau\right)\) הוא מרחב כוויץ.
קיים \(x_{0}\in\MKbbx\), כך שפונקציית הזהות \(\MKid_{\MKbbx}\) הומוטופית לפונקציה הקבועה \(x\mapsto x_{0}\).
לכל \(x_{0}\in\MKbbx\), פונקציית הזהות \(\MKid_{\MKbbx}\) הומוטופית לפונקציה הקבועה \(x\mapsto x_{0}\).
הגדרה 2.3. נאמר ש-\(\left(\MKbbx,\tau\right)\) הוא מרחב פשוט קשר אם הוא קשיר מסילתית, ובנוסף, כל לולאה מבוססת בנקודה \(x\in\MKbbx\) הומוטופית ל-\(c_{x}\).
\(\clubsuit\)
זוהי הדרך הפורמלית לדרוש שאין במרחב חורים שניתן לאתר באמצעים חד-ממדיים. לדוגמה: המישור פחות נקודה אחת אינו פשוט קשר משום שלולאה המקיפה את הנקודה הזו אינה ניתנת לכיווץ לנקודה (כלומר אינה הומוטופית מסילה קבועה), אבל המרחב התלת-ממדי פחות נקודה הוא פשוט קשר משום שאפילו לולאה המקיפה את הנקודה הזו אפשר לכווץ לנקודה.
\(\left(\MKbbx,\tau\right)\) קשיר מסילתית, וקיים \(x\in\MKbbx\) כך שהחבורה היסודית \(\pi_{1}\left(\MKbbx,x\right)\) היא החבורה הטריוויאלית.
מסקנה 2.5. כל מרחב כוויץ הוא מרחב פשוט קשר.
\(\clubsuit\)
ההפך אינו נכון, לדוגמה: הסְפֵירָה\(S^{2}\) היא מרחב פשוט קשר שאינו כוויץ.
הגדרה 2.6. תהא \(A\subseteq\MKbbx\) תת-קבוצה, נסג-עיוות מ-\(\MKbbx\) ל-\(A\) הוא פונקציה רציפה \(H:\left[0,1\right]\times\MKbbx\rightarrow\MKbbx\) המקיימת את שלושת התנאים הבאים:
\(H\left(t,a\right)=a\) לכל \(t\in\left[0,1\right]\) ולכל \(a\in A\).
\(H\left(0,x\right)=x\) לכל \(x\in\MKbbx\).
\(H\left(1,x\right)\in A\) לכל \(x\in\MKbbx\).
כמו כן, נאמר ש-\(A\) היא נסג-עיוות של \(\MKbbx\) אם קיימת \(H\) כנ"ל.
מסקנה 2.7. אם קיים \(x\in\MKbbx\) כך ש-\(\left\{ x\right\} \) הוא נסג-עיוות של \(\MKbbx\), אז \(\left(\MKbbx,\tau\right)\) כוויץ.
\(\clubsuit\)
ההפך אינו נכון! קיימים מרחבים כוויצים שאינם נסג-עיוות של אף אחד מהיחידונים שבהם. להביא דוגמה.
3 מרחבי מנה ומרחבי כיסוי
הגדרה 3.1. נאמר שמרחב טופולוגי \(\left(\MKbby,\sigma\right)\) הוא מרחב מנה של מרחב טופולוגי \(\left(\MKbbx,\tau\right)\), אם קיימת פונקציה \(f:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) על \(\MKbby\) (\(\MKim f=\MKbby\)), כך שלכל קבוצה \(A\subseteq\MKbby\), \(A\) פתוחה (ב-\(\MKbby\)) אם"ם \(f^{-1}\left(A\right)\) פתוחה (ב-\(\MKbbx\)). במקרה כזה נאמר גם ש-\(f\) כזו היא העתקת מנה.
\(\clubsuit\)
הרעיון הוא שאנו מזהים שתי נקודות ב-\(\MKbbx\) שתמונתן תחת \(f\) זהה כנקודה אחת, כך למשל ניתן לזהות את הנקודות \(0\) ו-\(2\pi\) כנקודה אחת ולקבל שמעגל היחידה הוא מרחב מנה של הקטע \(\left[0,2\pi\right]\).
\(\clubsuit\)
העתקת מנה היא פונקציה רציפה, אך אינה בהכרח העתקה פתוחה.
טענה 3.2. יהי \(\left(\MKbbx,\tau\right)\) מרחב טופולוגי, ותהא \(Y\) קבוצה כלשהי. תהא \(f:\MKbbx\rightarrow Y\) פונקציה, ונסמן \(f_{\ast}\tau:=\left\{ A\subseteq Y\mid f^{-1}\left(Y\right)\in\tau\right\} \). \(f_{\ast}\tau\) היא טופולוגיה, והיא הטופולוגיה היחידה על \(Y\) כך ש-\(f\) היא העתקת מנה.
הגדרה 3.3. נאמר שמרחב טופולוגי \(E\) הוא מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי \(B\), אם קיימת פונקציה רציפה \(p:E\rightarrow B\) על \(B\) (\(\MKim p=B\)), המקיימת שלכל נקודה \(b\in B\) יש סביבה פתוחה \(U\subseteq B\), כך ש-\(p^{-1}\left(U\right)\) היא איחוד זר של קבוצות פתוחות ב-\(E\), שהצמצום של \(p\) לכל אחת מהן הוא הומיאומורפיזם בינה לבין \(U\). במקרה כזה נאמר גם ש-\(p\) היא העתקת כיסוי, ושכל סביבה \(U\) כזו מכוסה אחיד ע"י \(p\).
טענה 3.4. כל העתקת כיסוי היא העתקה פתוחה.
הוכחה. יהיו \(E\) ו-\(B\) מרחבים טופולוגיים כך ש-\(E\) הוא מרחב כיסוי של \(B\), ותהא \(p:E\rightarrow B\) העתקת כיסוי. תהא \(A\subseteq E\) קבוצה פתוחה, ותהא \(b\in p\left(A\right)\), מהיות \(p\) העתקת כיסוי נובע שיש ל-\(b\) סביבה פתוחה \(U\subseteq B\) המכוסה אחיד ע"י \(p\), אם כן תהא \(U\) כנ"ל, תהא \(a\in A\) כך ש-\(p\left(a\right)=b\), ותהא \(V\subseteq\MKbbx\) קבוצה פתוחה כך ש-\(a\in V\) והצמצום \(p\mid_{V}\) הוא הומיאומורפיזם בין \(V\) ל-\(U\). הקבוצה \(A\cap V\) פתוחה ב-\(E\) ולכן פתוחה גם ב-\(V\), ומכיוון ש-\(p\mid_{V}\) הוא הומיאומורפיזם נדע ש-\(p\mid_{V}\left(A\cap V\right)=p\left(A\cap V\right)\) היא קבוצה פתוחה ב-\(U\), והיות ש-\(U\) פתוחה ב-\(B\) נובע מזה ש-\(p\left(A\cap V\right)\) פתוחה גם היא ב-\(B\), ומהגדרה מתקיים \(b\in p\left(A\cap V\right)\subseteq p\left(A\right)\). כלומר לכל נקודה ב-\(p\left(A\right)\) יש סביבה פתוחה המוכלת ב-\(p\left(A\right)\) ולכן \(p\left(A\right)\) היא קבוצה פתוחה.
משפט 3.5. יהיו \(E\) ו-\(B\) מרחבים טופולגיים כך ש-\(E\) הוא מרחב כיסוי של \(B\), ותהא \(p:E\rightarrow B\) העתקת כיסוי. תהא \(Y\subseteq B\) תת-קבוצה, ונסמן \(X:=p^{-1}\left(Y\right)\); הצמצום \(p\mid_{X}:X\rightarrow Y\) הוא העתקת כיסוי.
הוכחה. \(p\) רציפה ולכן גם \(p\mid_{X}\) רציפה, ומהגדרה \(p\mid_{X}\) על \(Y\), אם כן נותר לנו להוכיח שלכל נקודה \(y\in Y\) יש סביבה פתוחה (ב-\(Y\)) \(U\subseteq Y\) המכוסה אחיד ע"י \(p\mid_{X}\). תהא \(y\in U\), תהא \(\tilde{U}\subseteq B\) סביבה פתוחה של \(y\) ויהי אוסף קבוצות פתוחות \(\MKcls\subseteq\MKclp\left(E\right)\) כך ש-\(p^{-1}\left(\tilde{U}\right)=\MKcupdot\MKcls\) כך שהצמצום של \(p\) לכל \(V\in\MKcls\) הוא הומיאומורפיזם בין \(V\) ל-\(\tilde{U}\). מהגדרה \(U:=Y\cap\tilde{U}\) היא סביבה פתוחה של \(y\) ב-\(Y\), ומתקיים:\[\begin{align*}
\left(p\mid_{X}\right)^{-1}\left(U\right) & =\left(p\mid_{X}\right)^{-1}\left(Y\cap\tilde{U}\right)=p^{-1}\left(Y\cap\tilde{U}\right)\\
& =p^{-1}\left(Y\right)\cap p^{-1}\left(\tilde{U}\right)\\
& =X\cap\left(\MKbigcupdot_{V\in\MKcls}V\right)=\MKbigcupdot_{V\in\MKcls}\left(X\cap V\right)
\end{align*}\]ומכיוון שלכל \(V\in\MKcls\), \(p\mid_{V}\) הוא הומיאומורפיזם בין \(V\) ל-\(\tilde{U}\), נדע ש-\(p\mid_{X\cap V}=\left(p\mid_{X}\right)\mid_{X\cap V}\) הוא הומיאומורפיזם בין \(X\cap V\) ל-\(U=Y\cap\tilde{U}\).
משפט 3.6. יהיו \(E,B,E',B'\) מרחבים טופולוגיים כך ש-\(E\) הוא מרחב כיסוי של \(B\) ו-\(E'\) הוא מרחב כיסוי של \(B'\). תהיינה גם \(p:E\rightarrow B\) ו-\(p':E'\rightarrow B'\) העתקות כיסוי מתאימות. מרחב המכפלה \(E\times E'\) הוא מרחב כיסוי של מרחב המכפלה \(B\times B'\), וההעתקה \(q:E\times E'\rightarrow B\times B'\) המוגדרת ע"י \(q\left(x,x'\right):=\left(p\left(x\right),p\left(x'\right)\right)\) (לכל \(\left(x,x'\right)\in E\times E'\)) היא העתקת כיסוי.
הגדרה 3.7. תהיינה \(f:X\rightarrow B\) ו-\(p:E\rightarrow B\) העתקות רציפות, הרמה של \(f\) ע"י \(p\) היא היא פונקציה \(\tilde{f}:X\rightarrow E\) המקיימת \(p\circ\tilde{f}=f\).
משפט 3.8. משפט ההרמה של מסילות תהא \(p:E\rightarrow B\) העתקת כיסוי, לכל מסילה \(\gamma:\left[0,1\right]\rightarrow B\) ולכל נקודה \(e_{0}\in E\) כך ש-\(p\left(e_{0}\right)=\gamma\left(0\right)\), קיימת הרמה יחידה \(\tilde{\gamma}:\left[0,1\right]\rightarrow E\) כך ש-\(\tilde{\gamma}\left(0\right)=e_{0}\).
שיעור 10/06
יהיו \(\left(\MKbbx,\tau\right)\) ו-\(\left(\MKbby,\sigma\right)\) מרחבים טופולוגיים, ותהיינה \(x_{0}\in\MKbbx\) ו-\(y_{0}\in\MKbby\).
סימון:
לכל פונקציה רציפה \(f:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) כך ש-\(f\left(x_{0}\right)=y_{0}\) נסמן ב-\(f_{\ast}\) את הפונקציה \(f_{\ast}:\pi_{1}\left(\MKbbx,x_{0}\right)\rightarrow\pi_{2}\left(\MKbby,y_{0}\right)\) המוגדרת ע"י \(f_{\ast}\left[\gamma\right]:=\left[f\circ\gamma\right]\) (לכל \(\gamma\in\Omega\left(\MKbbx,x_{0}\right)\)).
טענה 3.9. תהיינה \(f,g:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) שתי פונקציות רציפות כך ש-\(f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)=y_{0}\), ובנוסף \(f\) ו-\(g\) הומוטופיות. אם קיימת הומוטופיה \(H:\left[0,1\right]\times\MKbbx\rightarrow\MKbbx\) כך ש-\(H\left(t,x_{0}\right)=y_{0}\) לכל \(t\in\left[0,1\right]\) אז \(f_{\ast}=g_{\ast}\).
משפט 3.10. לכל נסג עיוות
הגדרה 3.11. נאמר ש-\(\left(\MKbbx,\tau\right)\) ו-\(\left(\MKbby,\sigma\right)\)שקולים הומוטופית אם קיימות שתי העתקות רציפות \(f:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) ו-\(g:\MKbby\rightarrow\MKbbx\) כך ש-\(f\circ g\) הומוטופית ל-\(\MKid_{\MKbbx}\) ו-\(g\circ f\) הומוטופית ל-\(\MKid_{\MKbby}\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים?אתם מוזמנים לתת טיפ.להורדה כ-PDF:
#scrollButton {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
z-index: 1;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקה
{"prefetch":[{"source":"document","where":{"and":[{"href_matches":"\/*"},{"not":{"href_matches":["\/wp-*.php","\/wp-admin\/*","\/wp-content\/uploads\/*","\/wp-content\/*","\/wp-content\/plugins\/*","\/wp-content\/themes\/twentytwentyfive\/*","\/*\\?(.+)"]}},{"not":{"selector_matches":"a[rel~=\"nofollow\"]"}},{"not":{"selector_matches":".no-prefetch, .no-prefetch a"}}]},"eagerness":"conservative"}]}
דף הביתתרומהשיעורים פרטייםמפת אתראודותREADMEהתנצלותו של המתמטיקאיהקדשהאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםיסודותצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.id = 'wp-skip-link';
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerText = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );